Qubit: Sự thay thế cho Bit từ góc nhìn lượng tử

Như mình đã nhắc đến trong bài đăng trước, qubit (Bit Lượng tử) không bị giới hạn giá trị bởi duy nhất $0$ và $1$. Trong bài viết này, mình sẽ nói về những kiến thức nền cần thiết cho những ai mới bắt đầu tìm hiểu như mình.

As I’ve mentioned in my previous post, qubits doesn’t suffer from the limitation of only being $0$ or $1$. Within this article, I’m going to talk about some background knowledge essential for ones who have just stepped into the field.

Đơn Qubit

Kí hiệu Dirac $\left | \cdot \right\rangle$ (đọc là ket) được dùng để biểu thị trạng thái của qubit. Trạng thái $\left|\psi\right\rangle$ của một qubit có thể là một vector đơn vị bất kì trong không gian vector hai chiều trên miền số phức. Hai trạng thái cơ sở $\left|0\right\rangle$ and $\left|1\right\rangle$ là hai thành phần (hoặc hai vector cơ sở) tạo thành cơ sở tính toán, trong đó bất kì trạng thái nào của một qubit đều có thể biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của các thành phần.

Trạng thái tổng quát của một qubit được viết như sau $$\left|\psi\right\rangle = \alpha_0\left|0\right\rangle + \alpha_1\left|1\right\rangle$$ hoặc biểu diễn bằng vector $$\left|\psi\right\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_0 \\ \alpha_1
\end{bmatrix}$$ với $\alpha_0$ và $\alpha_1$ là các hệ số phức. Tất cả trạng thái qubit đều bắt buộc là một vector đơn vị trong không gian vector phức nên bị ràng buộc bởi điều kiện chuẩn hóa $$\left|\alpha_0\right|^2 + \left|\alpha_1\right|^2 = 1$$

Ngược lại với bit thông tin cổ điển, các qubit không có “giá trị thực sự”. Nói một cách chính xác, chúng phải được biểu diễn bằng các trạng thái. Trạng thái tổng quát $\left|\psi\right\rangle$ là một trạng thái chồng chập (sẽ viết tắt thành chồng chập) của các trạng thái cơ sở $\left|0\right\rangle$ and $\left|1\right\rangle$ với biên độ xác suất tương ứng là $\alpha_0$ và $\alpha_1$. Điều này có nghĩa rằng nếu bạn tiến hành đo giá trị của một qubit đơn lẻ ở trạng thái $\left|\psi\right\rangle$, bạn sẽ thu được $0$ với xác suất $\left|\alpha_0\right|^2$ và $1$ với xác suất $\left|\alpha_1\right|^2$. Các bit cổ điển chỉ là một trường hợp đặc biệt của qubit. Giá trị của chúng giống với một trong hai trạng thái cơ sở $\left|0\right\rangle$ hoặc $\left|1\right\rangle$ với xác suất $1$. $$\left|0\right\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}; \left|1\right\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Đa qubit

Trong máy tính cổ điển, bởi vì mỗi bit mang một trong hai giá trị, có tổng cộng $2^2 = 4$ tổ hợp giá trị cho mỗi hai bit bao gồm $\left|00\right\rangle, \left|01\right\rangle, \left|10\right\rangle$ và $\left|11\right\rangle$. Bốn vector cơ sở này trực giao và hợp thành không gian vector bốn chiều của hai qubit. Một cách kiế hiệu khác cho các vector trạng thái trên: $$\left|0\right\rangle\left|0\right\rangle, \left|0\right\rangle\left|1\right\rangle, \left|1\right\rangle\left|0\right\rangle, \left|1\right\rangle\left|1\right\rangle$$ Trên thưc tế kí hiệu này nhằm gợi ý một phép nhân, hay nói một cách chính xác hơn là một tích tensor của hai vector qubit. Trong ngôn ngữ Toán học hình thức, nó được viết dưới dạng $$\left|0\right\rangle \otimes \left|0\right\rangle, \left|0\right\rangle \otimes \left|1\right\rangle, \left|1\right\rangle \otimes \left|0\right\rangle, \left|1\right\rangle \otimes \left|1\right\rangle$$ Tích tensor của một vector có $M$ thành phần $\mathbf{a}$ và một vector có $N$ thành phần $\mathbf{b}$ la một vector có $MN$ thành phần $$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 \\ a_1b_2 \\ \vdots \\ a_1b_{m} \\ a_2b_1 \\ \vdots \\ a_nb_{m-1} \\ a_nb_m \end{bmatrix} $$ Do đó việc áp dụng tích tensor lên hai trạng thái của hai qubit tạo thành một vector mà nó biểu diễn trạng thái hợp thành của cả hai qubit đấy. Quy tắc này còn được mở rộng lên cho phép biểu diễn trạng thái của hệ gồm $n$ qubit dưới dạng tích tensor gộp của $n$ vector. Hãy thử áp dụng quy tắc này cho ba qubit đều ở các trạng thái cơ sở $\left|6\right\rangle_3$ $$\left|6\right\rangle_3 = \left|110\right\rangle = \left|1\right\rangle \otimes \left|1\right\rangle \otimes \left|0\right\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $$ Trạng thái $\left|m\right\rangle_n$ được biểu diễn bởi vector $2^n$ chiều, trong đó tất cả phần tử đều bằng không ngoại trử phần tử thứ $m$ mang giá trị $1$, với một lưu ý rằng các phần tử của vector được đánh số từ $0$ trở đi. Từ bài viết này, chỉ số dưới ngay sau một kí hiệu ket sẽ được dùng để chỉ một số lượng hữu hạn qubit ta đang quan tâm đến.

Trạng thái tổng quát của hệ $n$ qubit bị ràng buộc bởi duy nhất điều kiện chuẩn hóa tương tự như trạng thái của một qubit đơn lẻ. Xét một hệ gồm $2$ qubit ở trạng thái tổng quát $$\left|\Psi\right\rangle = \alpha_{00}\left|00\right\rangle + \alpha_{01}\left|01\right\rangle + \alpha_{10}\left|10\right\rangle + \alpha_{11}\left|11\right\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix},$$ $$\left|\alpha_{00}\right|^2 + \left|\alpha_{01}\right|^2 + \left|\alpha_{10}\right|^2 + \left|\alpha_{11}\right|^2 = 1$$ Tổng quát thì trạng thái hợp của $n$ qubit có thể là bất kì chồng chập nào của $2^n$ trạng thái cổ điển khác nhau với biên độ xác suất thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Vậy nên trạng thái lượng tử mới này có một cơ sở tính toán với $2^n$ vector cơ sở là $\left|x\right\rangle_n$ với $0\leq x \leq 2^n-1$. $$\left|\Psi\right\rangle = \sum_{x=0}^{2^n-1}\alpha_x\left|x\right\rangle_n,$$ $$\sum_{x=0}^{2^n-1}\left|\alpha_x\right|^2 = 1.$$ Ta có thể dễ dàng thu được trạng thái hợp của $n$-qubit bằng cách áp dụng tích tensor lên trạng thái của mọi qubit thành phần. Tuy nhiên điều ngược lại thì không đúng. Trạng thái tổng quát của $n$-qubit, vốn là một chồng chập của $2^n$ vector cơ sở, không thể được biểu diễn một cách tổng quát dưới dạng tích của trạng thái của $n$ qubit thành phần. Nói cách khác thì một qubit thành phần trong hệ đa qubit có thể không có trạng thái thành phần (trạng thái thuần) của riêng nó. Nếu một qubit không ở trạng thái thuần thì nó đang ở một trạng thái hỗn độn được mô tả bởi một ma trận mật độ. Trong khuôn khổ trang blog này, mình mặc định dùng thuật ngữ “trạng thái” của một qubit đơn lẻ để chỉ “trạng thái thuần” của nó trừ trường hợp có ghi chú rõ ràng. $$\left|0\right\rangle \otimes \left|1\right\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix} = \left|01\right\rangle, $$ $$ \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \not\equiv \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} $$

Những trạng thái hợp của hệ nhiều qubit mà không thể biểu diễn thành các tích được gọi là các trạng thái vướng víu, một thuật ngữ được sử dụng trong ngữ cảnh này lần đầu tiên bởi Schrödinger. Vướng víu cùng với chồng chập lượng tử là những nguyên lý quan trọng nhất đối với sự hình thành của ngành điện toán lượng tử bởi vì cách hành xử dị thường nhưng thú vị của hệ gồm các qubit rối rắm (để tránh lặp từ “vướng víu” thôi) có thể dẫn chúng ta đến những kết quả đột phá không thể được tạo ra bởi ngay cả siêu máy tính cổ điển mạnh nhất trên thế giới.